Ein paar Gedanken aussem Ländle

Golomb Lineale für die Praxis

Das Verlängerungskabelproblem …

Bei einem Verlängerungskabelsatz für Unterwegs ist man immer wieder mit dem Problem konfrontiert, dass man einfach und praktisch “die richtigen Längen” eines Kabels braucht. Einmal sind 10 Meter zu überbrücken, einmal nur 8 und einmal eben 21 Meter um ein Gerät zu betreiben. Natürlich würde es eine 50-Meter Kabelbtrommel in solchen Fällen immer tun. Der Nachteil der Lösung ist die Kabeltrommel selbst, die dann irgendwo im Raum herum steht. Ein Verlängerungskabelsatz von 8, 10 und 21 Metern wäre für die vorliegenden drei Lösungen passend aber eben nur für diese drei Fälle.

Also: Man möchte einen Kabelsatz im Wagen haben, von dem man einfach ein Untersortiment herausgreifen kann und praktisch alle ganzzahligen Vielfachen Längen von zum Beispiel einem Meter herstellen kann. Dann wäre das verlegte Kabel immer passend und es würden keine Reste im Raum herum stehen.

Die erste Lösung – Binärlängen

Mit einem Kabelsatz der Längen 1, 2, 4, 8 und 15 Meter ist man zum Beispiel immer in der Lage, alle Längen herzustellen von Strecken von 1 bis 31 Meter. Dieser Binärmaßstab ist eine recht einfache Lösung des Problems. Wenn man dann allerdings zum Beispiel Mikrofone und Lautsprecher verkabeln möchte – also nicht nur ein Kabel wirklich benötigt, sondern mehrere, dann würde man bei n anzuschließenden Geräten auch n Kabelsätze benötigen. Wenn der eine Lautsprecher eine Entfernung hat von 12 Meter (8+4) und der andere 13 Meter (8+4+1), dann bräuchte man entweder vollständig zwei Kabelsätze, oder man müsste ein Kabel mit Überlänge (15 Meter) einsetzen.

Man kann sich also leicht vorstellen, dass die Restkabelsätze weitgehend unbrauchbar sind bei diesem Binärmaßstab.

Wenn man sich nun mathematisch an das Problem herantasten möchte, dann findet man die Golomb Lineale.

Die Theorie der Golomb Lineale

Die theoretische Wikipedia-Definition – ein Golomb Lineal ist ein Lineal bei dem es keine zwei Markierungen mit dem gleichen Abstand gibt. Da dies im Grunde auch durch einen logarithmischen Maßstab gegeben ist, erweitern wir die Definition etwas:

Definition: Ein Golomb Lineal ist ein Lineal mit Markierungen in einem ganzzahligen vielfachen eines Einheitsabstandes. Dabei gibt es keine zwei unterschiedliche Markierungspaare gibt mit gleichem Abstand.

Mit der Abstandsdefinition kann man nun das Binärlineal definieren. Die Markierungen liegen dort bei “0-1-3-7-15-31” und die Abstände wie oben gesagt bei 1 (1-0=1), 2 (3-1=2), 4 (7-3=4), 8 und 16”. Das hier gezeigte Lineal hat die Ordnung sechs – es gibt sechs Markierungen – und die Länge 31.

Doch mathematisch ist dieses Binärlineal kein “perfektes” Lineal. Es gibt zwar Markierungen in den Abständen 1 bis 4 aber keine im Abstand 5. Hier definieren die Mathematiker weiter:

Definition: Ein Golomb-Lineal ist perfekt, wenn es bis zu seiner Länge alle Abstände messen kann, wenn also zu jedem ganzzahligen vielfachen des Einheitsabstandes mindestens ein Markierungspaar mit diesem Abstand existiert.

Das ist im Grunde nur ein Schönheitsfehler. Eine Länge 5 kann man in einem Binärlineal erzeugen, in dem man einfach einige Markierungen vertauscht und die Markierungen festlegt bei “0-1-5-7-15-31”.

Und es gilt weiter:

Definition: Ein Golomb-Lineal ist optimal, wenn es keine kürzeren Lineale derselbsen Ordnung gibt.

Soweit zunächst einmal die Mathematik.

Golomb Lineale sind also zunächst einmal auf Grund eine theoretischen Ästehtik definiert. Das ist eines der Gründe, warum sich bisher niemand wirklich für diese Dinge interessierte. Neben der Ästhetik liefern diese Lineale aber Abstandszahlenreihen mit interessanten Eigenschaften.

Golomb Lineale als Maßstäbe für Verlängerungskabel.

Es ist bereits gesagt worden: Wenn man die Zahl von Verlängerungskabeln auf ein Minimum reduzieren will und gleichzeitig maximale Reichweite benötigt, ann hilft ein Binärlineal.

Nun bringen wir die Definition in Erinnerung:

Definition: Ein Golomb-Lineal ist optimal, wenn es keine kürzeren Lineale derselbsen Ordnung gibt.

Die Golomb-Lineale wie wir sie auf den Wikipedia-Seiten aufgelistet bekommen, die sind die kürzesten Lineale dieser Art und damit genau das andere Extrem der maximalen Reichweite. Mit optimalen Golomb Linealen der Ordnung 6 könnte man also nur 17 Meter überbrücken, mit dem Binärlineal (einem nichtoptimalen Golomb Lineal) dagegen kommt man auf die 31 fache Einheitslänge .

Damit bleibt die Frage: Was gewinnt man durch Abstände, die durch die optimalen Golomb-Lineale vorgegeben sind?

Die Antwort ist einfach: Man gewinnt maximale Flexibilität!

Optimale Golomb Lineale geben die Längen vor für maximal flexible Kabelsätze.

Die Länge 9 kann bei einem Binärruler nur durch genau eine Kombination hergestellt werden ebenso wie jede andere Länge. Für jede Zahl gibt es genau ein Zahlenpaar. Das ist beim optimalen Golomb Lineal anders. Hier gibt es eine maxiamale Zahl an Kombinationsmöglichkeite für jede Zahl.

Nehmen wir das erste Beispiel: Das erste Golomb Lineal hat die Markierungen 0-1-4-10-12-17 und damit die Abstände 1-3-6-2-5 bzw. sortiert 1-2-3-5-6. Hier kann die neun dargestellt werden als 6+3 oder auch 5+3+1. Mit diesem Trick kann man Kupplungen dort platzieren, wo sie nicht stören.

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— Wolfgang Uhr · Freitag August 15, 2008

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